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《数理方法》课程教学大纲
课程名称： 数理方法
课程代码： MA097
学 分 / 学 时： 3 / 48
适用专业： 各类工科专业
先修课程： 高等数学（A）、概率统计
后续课程：
开课单位： 数学系
一、课程性质和教学目标
课程性质：本课程是工科专业的一门重要数学理论基础课。是材料、电信、机动、船建等专业的重要工具课程，它主要包括复变函数、积分变换和数学物理方程三大部分。
教学目标：使学生掌握复变函数、积分变换和数学物理方程的基本理论、建模方法和计算方法，并能将数学结果联系于物理背景，加深对物理理论的理解，为学习后续课程打下良好的基础。使学生能够对基本的物理问题进行分析综合，针对具体的物理问题建立起相应的数学模型，培养学生利用数学物理方法分析问题、解决问题的能力，能从数学与自然科学的角度对解决途径进行分析。（毕业要求2.3）
本课程主要由复数和复变函数、解析函数、复变函数的积分、解析函数的级数展开、留数及其应用、傅立叶变换、拉普拉斯变换、数学物理方程的导出及定解问题、求解数学物理方程的分离变量法、数学物理方程的初值问题等组成。通过本课程的教学，使学生初步掌握这门课程的基本理论和基本方法，并具有运用复变函数与积分变换方法解决一些实际问题的能力，为以后学习工程力学、电磁学、振动力学及无线电技术等课程和有关专业的后继课程奠定必要的数学基础。 总体要求为：
（1）理解复变函数的思想与方法；正确理解复变函数的基本概念，掌握复变函数的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步地应用能力。
（2）理解积分变换的概念，具有较熟练求解函数的积分变换的能力，并能应用积分变换求解某些广义积分和数学物理问题。
（3）了解三类典型的数学物理方程及其定解问题；掌握用分离变量法求三类方程的混合初边值或边值问题；掌握求初始值问题的方法。
二、课程教学内容及学时分配
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教学内容 |
学时 |
课堂 教学 |
教学重点 |
教学 难点 |
自学及要求 |
作业 |
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1. 复数与复变函数 复数及其表示；复数的运算 |
4 |
4 |
复数的各种表示和运算；复变函数的概念及其几何意义；复变函数 |
曲线、区域的复数表示 |
阅读有关教学参考资料、与教师及助教讨论等，用以巩固和拓展学习知识 |
章节习题 |
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2. 解析函数 |
6 |
6 |
解析函数；柯西-黎曼条件；解析函数与调和函数的关系；基本初等函数的解析性 |
对解析函数概念及性质的理解；解析函数与调和函数的关系；初等多值函数 |
结合所学专业，阐述解析函数的应用。例如：解析函数在平面电场中的作业 |
章节习题 |
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3. 复变函数的积分 |
6 |
6 |
柯西定理、柯西积分公式和高阶导数公式 |
复合闭路定理和复积分的计算 |
自学由柯西积分公式导出的几个重要结论：柯西不等式，刘维尔定理等 |
章节习题 |
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4. 解析函数的级数展开: 复数项级数；幂级数；泰勒级数；洛朗级数；孤立奇点 |
6 |
6 |
解析函数的泰勒级数与洛朗级数的展开条件、方法；孤立奇点的性质及判别方法 |
各类孤立奇点性质及判别法 |
比较复变函数与高等数学中的幂级数展开的相同和不同之处 |
章节习题 |
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5. 留数及其应用 |
6 |
6 |
利用留数定理计算三种类型的实变函数定积分 |
无穷远点的留数求法及其应用 |
阅读有关教学参考资料，自学某些积分路径上有奇点的实积分的计算，对数留数 |
章节习题 |
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6. 傅里叶变换 |
2 |
2 |
傅立叶变换的应用，周期函数的广义傅立叶变换 |
的概念和性质及其物理意义 |
复习高等数学中有关周期函数傅立叶级数的内容；阅读有关教学参考资料，了解傅立叶变换在现代信号处理的应用以及在现代科学技术中重要地位，培养学生对现代科学技术的兴趣 |
章节习题 |
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7. 拉普拉斯变换 |
6 |
6 |
拉氏变换的性质；求函数的拉氏变换及其逆变换，拉氏变换的应用 |
利用拉氏变换的性质求函数的拉氏变换逆变换 |
阅读有关教学参考资料、与教师及助教讨论等，用以巩固和拓展学习知识 |
章节习题 |
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8. 数学物理方程的导出及定解问题 |
2 |
2 |
三类定解问题的数学建模；定解条件的确定；线性方程的叠加原理 |
三类方程的导出及定解条件的确定 |
阅读有关教学参考资料，复习大学物理中的傅立叶实验定律、虎克定律、动力学基本定律等，加深对三类方程导出及定解条件确定的理解 |
章节习题 |
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9. 求解数学物理方程的分离变量法 |
6 |
6 |
特征值问题；用分离变量法解题的方法和步骤；非齐次边界条件的处理 |
非齐次方程和非齐次边界条件的处理 |
复习二阶常微分方程解的结构和求解方法；阅读有关教学参考资料，学习并了解二维极坐标系下拉普拉斯方程分离变量 |
章节习题 |
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10. 数学物理方程的初始值问题 |
4 |
4 |
行波法、达朗贝尔公式、泊松公式 |
行波法，泊松公式的导出 |
自学三维波动方程的初始值问题 |
章节习题 |
三、教学方法
数理方法是公认的比较难学的一门课程。难点在于本课程需要综合高等数学、大学物理及其他专业知识，数学推导和结论往往既冗长又繁杂。因此，在课堂教学上可采用以下的方法：
（1）采取提出问题、分析问题、解决问题的教学法。着重讲授科学和工程中的常见数学问题，以及解决这些问题的各种解析方法，教学过程中应该注重方法、概念的理解，注重思维方式培养。能应用所讲的各种方法解决不同的实际问题，使学生建立起自觉使用所学方法到本专业中的意识。
（2）激发学生主动性地学习策略。尽量将部分推导演绎过程引导学生自己完成，调动学生动手的欲望，提高授课的质量和效率。另外，在课堂上提出几个问题，让学生围绕这些问题去探究，下次课上让学生发表对这些问题的想法和思考，老师加以评价和引导。
（3）注重启发性、互动性教学。对某些问题可把同学分组进行讨论，找出观点分歧的同学发表他所在组的想法，从而针对问题讲解。
（4）运用案例教学法. 通过实例的讲解，将理论教学和实际案例有机结合，使课堂讲解生动清晰，提高课堂教学效果。
（5）采用多媒体演示和板书推演相结全的教学方式。
课外教学除每周习题课外，学生有固定的答疑时间，从而可了解学生对知识的掌握程度，以便于课堂上更有效地教学；助教随问随答，帮助同学克服畏难情绪，以增加同学学习的积极性；建立的公共网络平台，便于学生有问题及时问和得到反馈，也有利学生对这门课程的反馈以及他们之间的相互讨论和交流。
尽管本课程的重点放在运用方法解决问题上，但是仍然鼓励和希望学有余力的学生，对于问题的数学模型建立，有实质性的研究和提高。通过课外的上机演练及通过解决实际问题的全过程，了解和掌握建立数学模型的初步方法，并会利用计算机与相关的数学软件求出问题的数值解；使学生具有初步从事科研的能力。
四、考核及成绩评定方式
期终成绩由平时作业和考试成绩组合而成。其中平时成绩包括平时作业的完成情况和质量、课堂提问及课堂小测验等，考试成绩主要是期末考试（闭卷笔试）成绩。
各部分所占比例：平时成绩占20%，考试成绩占80%。
期末考试主要考核对数理方法基本概念，基本方法和基本理论的掌握程度和独立思考能力。包括复数的概念与运算、平面曲线和区域的复数表示、函数可导和解析的充要条件，调和函数以及共轭调和函数，初等解析函数、复变函数积分的计算，柯西积分公式和柯西高阶导数公式、解析函数的泰勒级数与洛朗级数的展开条件和方法；孤立奇点的分类、复变函数在各类孤立奇点处留数的计算；利用留数定理计算三种类型的实变函数定积分、基本函数的广义傅里叶变换和逆变换、利用拉普拉斯变换求广义积分以及常系数线性微分方程（组）、用分离变量法解一维波动方程、热传导方程和矩形域上的二维拉普拉斯方程、求解一维无限长弦振动方程（波动方程）初始问题的达朗贝尔公式、求解一维热传导方程初始问题的泊松公式等。
期终考试主要题型有：选择、填空、计算和推导、证明题。
五、教材及参考书目
教材：[1]上海交通大学数学系. 数学物理方法. 上海:上海交通大学出版社,2011.
参考书目：
[1] 贺才兴. 复变函数第二版. 海:上海交通大学出版社,1999.
[2] 王纪林等. 数学物理方程和特殊函数. 上海:上海交通大学出版社,1999.
[3] 冯卫国. 积分变换第二版. 上海:上海交通大学出版社,1999.
[4] 钟玉泉. 复变函数论第三版. 北京:高等教育出版社,2003.
课程组教师名单:王健、许德良、向光辉、于用江、方北香、杨雄锋、顾琪龙、唐异垒
大纲执笔: 王健